Trapeziumområde: formler og beregningsmetoder

Indholdsfortegnelse:

Trapeziumområde: formler og beregningsmetoder
Trapeziumområde: formler og beregningsmetoder
Anonim

For at føle sig selvsikker og med succes løse problemer i geometritimer, er det ikke nok at lære formler. De skal først forstås. At være bange, og endnu mere at hade formler, er uproduktivt. I denne artikel vil forskellige måder at finde området af en trapezoid blive analyseret på i et tilgængeligt sprog. For en bedre assimilering af de tilsvarende regler og sætninger vil vi være opmærksomme på dets egenskaber. Dette vil hjælpe dig med at forstå, hvordan reglerne fungerer, og i hvilke tilfælde bestemte formler skal anvendes.

Definer en trapezform

trapezformet område
trapezformet område

Hvad er dette tal generelt? Et trapez er en polygon med fire vinkler og to parallelle sider. De to andre sider af trapezet kan vippes i forskellige vinkler. Dens parallelle sider kaldes baser, og for ikke-parallelle sider bruges navnet "sider" eller "hofter". Sådanne figurer er ret almindelige i hverdagen. Trapezoidens konturer kan ses i silhuetterne af tøj, interiørartikler, møbler, fade og mange andre. Trapezoiden kan være af forskellige typer: alsidig, ligebenet og rektangulær. Vi vil analysere deres typer og egenskaber mere detaljeret senere i artiklen.

Trapez-egenskaber

hvad er arealet af trapez
hvad er arealet af trapez

Lad os dvæle kort ved egenskaberne ved denne figur. Summen af vinklerne ved siden af en side er altid 180°. Det skal bemærkes, at alle vinklerne i en trapezoid er 360°. Trapezoiden har begrebet en midterlinje. Hvis du forbinder sidernes midtpunkter med et segment, vil dette være midterlinjen. Det er betegnet m. Den midterste linje har vigtige egenskaber: den er altid parallel med baserne (vi husker, at baserne også er parallelle med hinanden) og lig med deres halvsum:

m=(a+b)/2.

Denne definition skal læres og forstås, fordi den er nøglen til at løse mange problemer!

Ved trapezformen kan du altid sænke højden til basen. En højde er en vinkelret, ofte betegnet med symbolet h, som er trukket fra et hvilket som helst punkt på en base til en anden base eller dens forlængelse. Midtlinjen og højden hjælper dig med at finde arealet af trapez. Sådanne opgaver er de mest almindelige i skolens geometrikursus og optræder jævnligt blandt kontrol- og eksamensopgaver.

De enkleste formler for arealet af en trapez

trapezformet område
trapezformet område

Lad os analysere de to mest populære og enkle formler, der hjælper med at finde arealet af en trapez. Det er nok at gange højden med halvdelen af summen af baserne for nemt at finde det, du leder efter:

S=h(a + b)/2.

I denne formel, a, b angiver basene af trapezoidet, h - højden. For at lette læsningen er multiplikationstegn i denne artikel markeret med symbolet () i formler, selvom multiplikationstegnet norm alt er udeladt i officielle opslagsværker.

Lad os overveje et eksempel.

Givet: Et trapez med to baser på 10 cm og 14 cm og en højde på 7 cm. Hvad er arealet af trapezet?

Lad os analysere løsningen på dette problem. Ved hjælp af denne formel skal du først finde den halve sum af baserne: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Så den halve sum er 12 cm. Nu gange vi den halve sum med højden: 127 \u003d 84. Den ønskede er fundet. Svar: Arealet af en trapez er 84 kvadratmeter. se

Den anden velkendte formel siger: arealet af et trapez er lig med produktet af midterlinjen og højden af trapezet. Det vil sige, at det faktisk følger af det tidligere koncept for midterlinjen: S=mh.

trapezformet område
trapezformet område

Brug af diagonaler til beregninger

En anden måde at finde arealet af en trapez på er faktisk ikke så svær. Det er forbundet med dets diagonaler. Ifølge denne formel skal du for at finde arealet gange halvproduktet af dets diagonaler (d1 d2) med sinus af vinkel mellem dem:

S=½ d1 d2 sin a.

Lad os overveje et problem, der viser anvendelsen af denne metode. Givet: en trapez med en diagonal længde på henholdsvis 8 og 13 cm Vinklen a mellem diagonalerne er 30°. Find arealet af trapezformen.

Beslutning. Ved hjælp af ovenstående formel er det nemt at beregne, hvad der kræves. Som du ved, er sin 30° 0,5. Derfor er S=8130,5=52. Svar: Arealet er 52 kvadratmeter. se

Leder efter området med en ligebenet trapez

Trapez kan være ligebenet (ligebenet). Dens sider er ens Og vinklerne ved baserne er ens, hvilket er godt illustreret på figuren. En ligebenet trapez har de samme egenskaber som en almindelig trapez, plus en række specielle. En cirkel kan omskrives omkring en ligebenet trapez, og en cirkel kan indskrives i den.

find arealet af trapez
find arealet af trapez

Hvad er metoderne til at beregne arealet af en sådan figur? Metoden nedenfor vil kræve mange beregninger. For at bruge det skal du kende værdierne for sinus (sin) og cosinus (cos) af vinklen ved bunden af trapezoidet. Deres beregninger kræver enten Bradis-tabeller eller en teknisk regnemaskine. Her er formlen:

S=c sin a (a – c cos a), hvor c er det laterale lår, a er vinklen ved den nederste base.

En ligebenet trapez har diagonaler af samme længde. Det omvendte er også sandt: Hvis diagonalerne på en trapezoid er ens, så er den ligebenet. Derfor følgende formel, som hjælper med at finde arealet af en trapez - halvproduktet af kvadratet af diagonalerne og sinus af vinklen mellem dem: S=½ d2synd a.

Find arealet af en rektangulær trapez

trapezformet område
trapezformet område

Der er et særligt tilfælde af en rektangulær trapez. Dette er en trapez, hvor den ene side (hendes lår) støder op til baserne i en ret vinkel. Det har egenskaberne som en almindelig trapez. Derudover har den en meget interessant funktion. Forskellen mellem kvadraterne af diagonalerne på en sådan trapez er lig med forskellen mellem kvadraterne på dens baser. Til det bruges alle de tidligere givne metoder til at beregne arealet.

Brug din opfindsomhed

Der er et trick, der kan hjælpe i tilfælde af at man glemmer specifikke formler. Lad os se nærmere på, hvad en trapez er. Hvis vi ment alt opdeler det i dele, så får vi velkendte og forståelige geometriske former: en firkant eller et rektangel og en trekant (en eller to). Hvis du kender højden og siderne af trapezet, kan du bruge formlerne for arealet af en trekant og et rektangel og derefter tilføje alle de opnåede værdier.

Lad os illustrere dette med følgende eksempel. Givet en rektangulær trapez. Vinkel C=45°, vinkler A, D er 90°. Den øverste base af trapezoiden er 20 cm, højden er 16 cm. Det er påkrævet at beregne arealet af figuren.

Beslutning

Denne figur består naturligvis af et rektangel (hvis to vinkler er 90°) og en trekant. Da trapezet er rektangulært, er dets højde derfor lig med dets side, det vil sige 16 cm. Vi har et rektangel med sider på henholdsvis 20 og 16 cm. Betragt nu en trekant, hvis vinkel er 45°. Vi ved, at en af dens sider er 16 cm. Da denne side også er højden af trapezoidet (og vi ved, at højden falder på basen i en ret vinkel), er trekantens anden vinkel derfor 90°. Derfor er trekantens resterende vinkel 45°. Som en konsekvens af dette får vi en retvinklet ligebenet trekant, hvor to sider er ens. Det betyder, at den anden side af trekanten er lig med højden, det vil sige 16 cm. Det er tilbage at beregne arealet af en trekant og et rektangel og tilføje de resulterende værdier.

Arealet af en retvinklet trekant er lig med halvdelen af produktet af dens ben: S=(1616)/2=128. Arealet af et rektangel er lig med produktet af dens bredde og længde: S=2016=320. Vi fandt det nødvendige: arealet af trapezoidet S=128 + 320=448 kvm. se Du kan nemt dobbelttjekke dig selv ved at bruge ovenstående formler, svaret vil være identisk.

Brug Peak Formula

trapezformet område
trapezformet område

Til sidst er her en anden original formel, der hjælper med at finde arealet af en trapez. Det kaldes Pick-formlen. Det er praktisk at bruge det, når trapezet er tegnet på ternet papir. Lignende opgaver findes ofte i materialerne til GIA. Det ser sådan ud:

S=M/2 + N – 1, i denne formel M er antallet af noder, dvs. skæringer af figurens linjer med cellens linjer på trapezets grænser (orange prikker i figuren), N er antallet af noder inde i figuren (blå prikker). Det er mest praktisk at bruge det, når man finder arealet af en uregelmæssig polygon. Men jo større arsenal af anvendte teknikker er, jo færre fejl og bedre resultater.

Selvfølgelig er ovenstående information langt fra at udtømme en trapezoids typer og egenskaber, såvel som måder at finde dens område på. Denne artikel giver et overblik over dens vigtigste egenskaber. Ved løsning af geometriske problemer er det vigtigt at handle gradvist, begynde med lette formler og problemer, konsekvent konsolidere forståelsen, flytte til et andet kompleksitetsniveau.

De mest almindelige formler, der er sammensat, vil hjælpe eleverne med at navigere på de forskellige måder at beregne arealet af en trapez og bedre forberede sig til test og test om dette emne.

Anbefalede: